קרל פרידריך גאוס: הבדלים בין גרסאות בדף
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
עריכה |
|||
שורה 1:
[[File:Carl Friedrich Gauss.jpg|ממוזער|166 פיקסלים|קרל פרידריך גאוס]]
'''
==
* "באמיתות מהסוג הזה הרעיון ולא הסימון הוא הקובע." ~ על ההוכחה של [[W:משפט וילסון|משפט וילסון]]. ''מחקרים אריתמטיים (1801)'' מאמר 76.
* "את עקרונות התאוריה אותה אנו נסביר ניתן להרחיב למעשה הרבה מעבר למה שנציין. זאת מכיוון שהם ניתנים ליישום לא רק לפונקציות המעגליות אלא גם לפונקציות טרנסצנדנטיות אחרות, בין היתר לאלו שתלויות באינטגרל <small><math>\int (1/\sqrt{{1 - x^4}}) dx</math></small>." ~ על ההכללות האפשריות של חלוקת המעגל. ''מחקרים אריתמטיים (1801)'' מאמר 335.▼
* "בחקירות שבהן מספר אינסופי של כיוונים של קווים ישרים במרחב נידון, מועיל לייצג את הכיוונים הללו באמצעות נקודות על ספירה קבועה, אשר הינן נקודות הקצה של הרדיוסים המקבילים לקווים הללו. המרכז והרדיוס של ספירת עזר זו יכולים להיות לגמרי שרירותיים. הרדיוס יכול להיקבע כיחידה. ההליך הזה תואם לתהליך שמיושם בקביעות באסטרונומיה, שבו לכל הכיוונים מתייחסים באמצעות ספירה שמיימית דמיונית בעלת רדיוס אינסופי. [[W:טריגונומטריה כדורית|טריגונומטריה כדורית]] ומשפטים מתחומים אחרים... משמשים לפתרון בעיות שבהן השוואה בין הכיוונים השונים נדרשת." ~ בנוגע להצגה של מיפוי גאוס. ''חקירות כלליות אודות משטחים עקומים (1827)'' מאמר 1.▼
* "לפיכך הנוסחה של המאמר הקודם מובילה עצמה למשפט יוצא דופן: אם משנים את צורתו של משטח עקום לכדי כל משטח אחר, המדד לעקמומיות המשטח בכל נקודה נותר זהה." ~ הצגת ה[[W:תיאורמה אגרגיום|תיאורמה אגרגיום]] (והרעיון של איזומטריות מקומיות של משטחים). ''חקירות כלליות אודות משטחים עקומים (1827)'' מאמר 12.▼
* "המשפטים על שאריות דו-ריבועיות מנצנצים ביופיים האמיתי ובפשטות הרבה ביותר כאשר תחום האריתמטיקה מורחב כך שיכלול [[W:מספר מדומה|מספרים דמיוניים]], כך שבלי הגבלה, מספרים מהצורה ''a + bi'' הינם מושא המחקר... נקרא למספרים כאלו מספרים מרוכבים שלמים." ~ הצגת חוג השלמים של גאוס. ''מאמר שני על שאריות דו-ריבועיות (1832)''.▼
* "על ה-geometria sytus,
== מכתבים==
* "אני מודה שמשפט פרמה כטענה מבודדת מעורר בי עניין מועט מאוד, שכן יכולתי בנקל להציע טענות רבות כאלו, שלא ניתן להוכיח או להפריך." ~ מכתב לאולברס (1816), בתגובה לנסיונו של זה להפציר בו לנסות את כוחו בהוכחת של [[W:המשפט האחרון של פרמה|המשפט האחרון של פרמה]].▼
* "אני מגיע יותר ויותר למסקנה שההכרחיות של הגאומטריה שלנו לא ניתנת להוכחה, לפחות לא באמצעות האינטלקט האנושי... הגאומטריה צריכה להימנות לא עם האריתמטיקה, שהיא לגמרי אפריורית, אלא עם המכניקה."▼
* "אנו חייבים להודות בצניעות, שבעוד שמספרים הם תוצר טהור של האינטלקט שלנו, למרחב יש קיום ממשי מחוצה לנו, כך שאיננו יכולים לתאר באופן מלא את התכונות שלו אפריורית." ~ מכתב ל[[W:פרידריך בסל|פרידריך בסל]] (1830)▼
* "בדרך כלל העמדה ביחס לסוגים חדשים של קלקולוס היא זו - שלא ניתן להשיג באמצעותם דבר שניתן להשיג בלעדיהם. אף על פי כן, היתרון בהם הוא, בהינתן שקלקולוס כזה תואם את הטבע של הצרכים התמידיים, שכל אחד שמשתלט עליהם מסוגל - ללא ההכוונה הלא מודעת של הגאוניות שעליה איש אינו יכול לפקוד - לפתור את כל הבעיות הנדרשות, וכן לפתור אותן באופן מכני במקרים סבוכים שבהם ללא אמצעי עזר כאלו אפילו גאוניות הופכת חסרת תועלת. כזה הוא המקרה עם ההמצאה של האלגברה, עם החשבון הדיפרנציאלי, ובמובן מוגבל יותר גם עם חשבון הוריאציות של לגראנז', עם חשבון הקונגרואנציות שלי ועם הקלקולוס של מביוס. קונספציות כאלו מאחדות ומלכדות לכדי שלמות אורגנית שפע של בעיות שאחרת היו נשארות מבודדות והיו מצריכות, לכל פתרון נפרד של בעיה, פחות או יותר את יישום הגאוניות ההמצאתית
* "לא ניתן לפרק למושגי יסוד את האבחנה בין שתי מערכות של שלושה קווים ישרים (קווים מכוונים, כך שהמערכת האחת מצביעה קדימה, מעלה וימינה, והמערכת השנייה קדימה, מעלה ושמאלה) אולם ניתן להדגימה באמצעות התייחסות לעצמים מרחביים קונקרטיים. שתי תודעות אינן יכולות להגיע להסכמה לגביה אלא אם השקפותיהן מתקשרות לאותה מערכת שמתקיימת בעולם הממשי." ~ על [[W:כלל יד ימין|מערכות צירים ימניות]] ושמאליות, מתוך מכתב לגרלינג מ-23 ביוני, 1846.▼
▲* את עקרונות התאוריה אותה אנו נסביר ניתן להרחיב למעשה הרבה מעבר למה שנציין. זאת מכיוון שהם ניתנים ליישום לא רק לפונקציות המעגליות אלא גם לפונקציות טרנסצנדנטיות אחרות, בין היתר לאלו שתלויות באינטגרל <math>\int (1/\sqrt{{1 - x^4}}) dx</math>.
* "ה-''Theoria motus'' תמיד תימנה בין העבודות הדגולות הללו, אשר הופעתן כמוה כאבן פינה בהיסטוריה של המדע בו הן עוסקות. התהליכים שמפורטים בה הם מדהימים לא רק בגלל מקוריותם ושלמותם, אלא גם בשל הצורה המדויקת והאלגנטית שבה המחבר הציגם. ניתן להחשיב עבודה זו כטקסט שממנו נגזרו רבות מהשיטות המשוכללות שכה מאפיינות את האסטרונומיה הגרמנית במאה הנוכחית." ~ מתוך חוות דעת של [[W:החברה המלכותית|החברה המלכותית הבריטית]] על ספרו על אסטרונומיה חישובית.▼
* "לא רק שאף אחד פרט לגאוס לא יכל למצאה, אלא שאיש פרט לגאוס לא יכל להעלות בדעתו שנוסחה כזאת אפשרית בכלל." ~ [[אלברט איינשטיין]], על הנוסחה שפיתח גאוס למציאת תאריך חג הפסחא.▼
▲* בחקירות שבהן מספר אינסופי של כיוונים של קווים ישרים במרחב נידון, מועיל לייצג את הכיוונים הללו באמצעות נקודות על ספירה קבועה, אשר הינן נקודות הקצה של הרדיוסים המקבילים לקווים הללו. המרכז והרדיוס של ספירת עזר זו יכולים להיות לגמרי שרירותיים. הרדיוס יכול להיקבע כיחידה. ההליך הזה תואם לתהליך שמיושם בקביעות באסטרונומיה, שבו לכל הכיוונים מתייחסים באמצעות ספירה שמיימית דמיונית בעלת רדיוס אינסופי. [[W:טריגונומטריה כדורית|טריגונומטריה כדורית]] ומשפטים מתחומים אחרים... משמשים לפתרון בעיות שבהן השוואה בין הכיוונים השונים נדרשת.
▲* לפיכך הנוסחה של המאמר הקודם מובילה עצמה למשפט יוצא דופן: אם משנים את צורתו של משטח עקום לכדי כל משטח אחר, המדד לעקמומיות המשטח בכל נקודה נותר זהה.
▲* המשפטים על שאריות דו-ריבועיות מנצנצים ביופיים האמיתי ובפשטות הרבה ביותר כאשר תחום האריתמטיקה מורחב כך שיכלול [[W:מספר מדומה|מספרים דמיוניים]], כך שבלי הגבלה, מספרים מהצורה ''a + bi'' הינם מושא המחקר... נקרא למספרים כאלו מספרים מרוכבים שלמים.
▲* על ה-geometria sytus, שלייבניץ הרחיק לראות, ואשר רק צמד גאומטרנים (אוילר וונדרמונט) זכו למבט חטוף בו, אנו יודעים, כעבור מאה וחמישים שנים, כמעט דבר. בעיה מרכזית של ה-geometria sytus תהיה למנות את מספר הליפופים של שני עקומים סגורים או אינסופיים אחד מסביב לשני.
▲* אני מודה שמשפט פרמה כטענה מבודדת מעורר בי עניין מועט מאוד, שכן יכולתי בנקל להציע טענות רבות כאלו, שלא ניתן להוכיח או להפריך.
▲* אני מגיע יותר ויותר למסקנה שההכרחיות של הגאומטריה שלנו לא ניתנת להוכחה, לפחות לא באמצעות האינטלקט האנושי... הגאומטריה צריכה להימנות לא עם האריתמטיקה, שהיא לגמרי אפריורית, אלא עם המכניקה.
▲* "אנו חייבים להודות בצניעות, שבעוד שמספרים הם תוצר טהור של האינטלקט שלנו, למרחב יש קיום ממשי מחוצה לנו, כך שאיננו יכולים לתאר באופן מלא את התכונות שלו אפריורית."
▲* "בדרך כלל העמדה ביחס לסוגים חדשים של קלקולוס היא זו - שלא ניתן להשיג באמצעותם דבר שניתן להשיג בלעדיהם. אף על פי כן, היתרון בהם הוא, בהינתן שקלקולוס כזה תואם את הטבע של הצרכים התמידיים, שכל אחד שמשתלט עליהם מסוגל - ללא ההכוונה הלא מודעת של הגאוניות שעליה איש אינו יכול לפקוד - לפתור את כל הבעיות הנדרשות, וכן לפתור אותן באופן מכני במקרים סבוכים שבהם ללא אמצעי עזר כאלו אפילו גאוניות הופכת חסרת תועלת. כזה הוא המקרה עם ההמצאה של האלגברה, עם החשבון הדיפרנציאלי, ובמובן מוגבל יותר גם עם חשבון הוריאציות של לגראנז', עם חשבון הקונגרואנציות שלי ועם הקלקולוס של מביוס. קונספציות כאלו מאחדות ומלכדות לכדי שלמות אורגנית שפע של בעיות שאחרת היו נשארות מבודדות והיו מצריכות, לכל פתרון נפרד של בעיה, פחות או יותר את יישום הגאוניות ההמצאתית".
▲* לא ניתן לפרק למושגי יסוד את האבחנה בין שתי מערכות של שלושה קווים ישרים (קווים מכוונים, כך שהמערכת האחת מצביעה קדימה, מעלה וימינה, והמערכת השנייה קדימה, מעלה ושמאלה) אולם ניתן להדגימה באמצעות התייחסות לעצמים מרחביים קונקרטיים. שתי תודעות אינן יכולות להגיע להסכמה לגביה אלא אם השקפותיהן מתקשרות לאותה מערכת שמתקיימת בעולם הממשי.
▲== ציטוטים עליו ==
▲* ה-''Theoria motus'' תמיד תימנה בין העבודות הדגולות הללו, אשר הופעתן כמוה כאבן פינה בהיסטוריה של המדע בו הן עוסקות. התהליכים שמפורטים בה הם מדהימים לא רק בגלל מקוריותם ושלמותם, אלא גם בשל הצורה המדויקת והאלגנטית שבה המחבר הציגם. ניתן להחשיב עבודה זו כטקסט שממנו נגזרו רבות מהשיטות המשוכללות שכה מאפיינות את האסטרונומיה הגרמנית במאה הנוכחית.
▲* לא רק שאף אחד פרט לגאוס לא יכל למצאה, אלא שאיש פרט לגאוס לא יכל להעלות בדעתו שנוסחה כזאת אפשרית בכלל.
==קישורים חיצוניים ==
שורה 51 ⟵ 28:
* [http://www.gauss.info Gauss], מידע כללי.
{{מיון רגיל:גאוס,קרל פרידריך}}
[[קטגוריה: מתמטיקאים]]
[[קטגוריה: אסטרונומים]]
[[קטגוריה: פיזיקאים]]
[[קטגוריה:גרמנים]]
| |||